Zenon'un Paradoksu

Zenon'un Paradoksu

       Zenon, Elealı Zenon veya Zeno hangisini demek isterseniz karar sizin.Ben bu yazıda Zenon diyeceğim. Zenon ölüm ve doğum tarihi kesin olmasa da tahminen MÖ 5'inci yüzyılda yaşamış ve arkasından bugüne çok az şey kalmış Yunan bir filozoftur. Bugün onla ilgili bildiklerimize ise Eflatun'a ve Aristo'ya borçluyuz (bkz: Parmenides ve Fizik). Zenon Parmenides'in sadık bir öğrencisiydi. Parmenides ise şu düşünceyi savunuyordu: Gerçek tektir ve değişmez. Varlık mutlak anlamda birdir, kalıcıdır, süreklidir, yaratılmamıştır. Parmenides aynı zamanda hareketin duyularımızın bizi kandırması sonucu oluştuğunu düşünüyordu. Zenon hocasının fikirleri ile dalga geçilince sinirlenmiş olmalı ki konuya dair 4 paradoks geliştirmiş ve bu paradokslar gerçekten şeytanın aklına gelmez ilginçlikte. 2500 yıl geçmiş olmasına rağmen bu paradokslar üzerine tartışmayı bırakmadık ve gün geçtikçe daha fazla düşünce üretiyoruz. Konu ile ilgili bir sürü çağdaş filozofun yazmışlığı var hatta Tolstoy, Savaş ve Barış'ında bu paradokslardan bahseder.

    

       Paradoksumuza geçmeden önce size bir şeyden daha bahsetmem gerekiyor. Akhilleus (Aşil) olarak bilinen kişiden size ufakça bahsedeceğim çünkü paradoksumuzda geçiyor ve bilmeyenlerin bilmesi hoş olur diye düşündüm. Aşil bir çeyrek tanrıdır ve dünyanın en büyük savaşçısı kabul edilir. Aşil annesi tarafından ölümsüzlük nehri olan Styx'de yıkarken Aşil'in sol topuğu suya temas etmediği için sadece oradan vurularak öleceğine inanılır ve Truvalı prens Paris tarafından vurularak öldürülmüştür. Aşil tendonu sözü bu hikayeden gelir.

Aşil ile Kaplumbağa

       Geldik asıl konumuza Aşil ile kaplumbağanın yarışı. Kaplumbağa tahmin edebileceğiniz üzere Aşil'den daha yavaş (Kaplumbağalar alınmayın ama gerçekler bunlar yapacak bir şey yok) , bu sebeple kaplumbağamız Aşil'den önde başlıyor yarışa. Zenon'un düşüncesi ise Aşil'in asla kaplumbağayı geçemeyeceği. Peki neden Aşil kaplumbağamızı geçemez? Aşil ve kaplumbağamız yarışa başladığında Aşil'in kazanması için önce kaplumbağanın olduğu noktaya gelmesi ardından kaplumbağayı geçmesi gerekmektedir. Asıl sıkıntı burada başlıyor. Şöyle düşünelim Aşil'in 

bulunduğu nokta A  noktası olsun kaplumbağanın bulunduğu nokta ise B noktası. Yukarıda da bahsettiğim gibi önce Aşil'in B noktasına varması gerekiyor fakat Aşil B noktasına gittiğinde kaplumbağa koşmaya devam edeceği için Aşil B noktasına varsa bile yeni bir noktaya gitmelidir. Aşil koşar ve yeni noktamıza gider fakat hala kazanma şansı yoktur çünkü kaplumbağa koşmaya devam ediyor ve Aşil'in varması gereken yeni bir nokta var. Bu tahmin edeceğiniz üzere paradoksumuz boyunca bu şekilde gidiyor ve Aşil bu mantıkta asla yarışı kazanamıyor. Gerçek hayatta böyle bir durumun olmayacağını düşünebilirsiniz elbette Zenon da Aşil'in kaplumbağayı geçebileceğini biliyordu. Ancak, gördüğümüzün gerçek olmadığını , duyularımızın bizi aldattığını öne sürüyor.

    Haydi paradoksumuz üzerine biraz düşünelim. Olayı matematiğe dökmek için Aşil'in kaplumbağanın 100 metre gerisinde olduğunu varsayalım. Aşil saniyede 100 metre hızla koşsun. Eğer kaplumbağa hareket etmeseydi Aşil kaplumbağayı 1 saniye içinde yakalardı fakat unutmamamız gereken şey kaplumbağanın koştuğu. Kaplumbağamız ise saniyede 10 metre hızla koşsun.

  Aşil'in yarışa başladığı noktaya A0 diyelim. Aşil 1 saniye sonra kaplumbağanın başladığı nokta olan A1 noktasına varacak. 1 saniye içinde ise kaplumbağa 10 metre ilerleyecektir ve A2  noktasına varacaktır. Aşil A2 noktasına 1/10 saniyede varacaktır. Kaplumbağa ise 1 metre gidecektir. 1 metre yolu ise Aşil 1/100 saniyede katetmektedir.Demek ki Aşil 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + .... saniyede kaplumbağayı geçebilir. Basit bir hesapla bu sonsuz toplamın 10/9 saniye olduğunu bulabiliriz[1]. 

  

  Fakat filozoflar bu cevaptan hoşlanmıyorlar. En başta sonsuz sayıyı toplamamız olması mantıksız geliyor. Buradaki soru matematik hayatın her alanında bu şekilde uygulanabilir mi ? Doğada 2 elma ile 3 elmayı topladığımızda 2+3 = 5 diyerek bir sonuca varabiliriz ama 2 litre su ile 5 litre alkol 7 litre yapmaz. Demek ki matematiği uygularken dikkatli olmalıyız.[1]

  Gördüğünüz üzere kendi başına matematiği uygulayamadık. Bu cümleyi kurmak evrenin veya matematiğin sorunlu olduğu anlamına mı gelir ? Matematik doğa yasalarını bulmaya çalışmıyor muydu ? Hocam hani matematik her yerde işe yarıyordu ? Burada uyguladım sonuç vermedi! Aslına bakarsanız hala yanılıyorsunuz. Matematik hala muhteşem fakat bunu yazının sonuna doğru anlayacaksınız.

  Paradoksumuz bize mesafeleri sürekli bölmemizi söylüyor. Ayrıca bu mantıkla Aşil'in hiçbir zaman ölmediğini de söyleyebiliriz. Nasıl mı ? Şöyle izah edeyim:
  Bu yazının 2. paragrafının son satırlarında Aşil'in tendonundan ok ile vurularak öldüğünden bahsetmiştim. Truvalı prensimiz yayını gersin ve oku fırlatsın. Ok ile Aşil arasında 100 metre mesafe olsun. Ok Aşil'i vuramaz çünkü ok ilk olarak 50 metre gitmelidir fakat 50 metre için 25 için 12,5 ve bu şekilde bölünen bir dizi mesafe kadar gitmelidir. Kısacası ok asla gideceği yere varamaz çünkü sürekli gideceğinin yarısı kadar mesafe katetmelidir. Hatta biraz abartırsak prensin yayına asla ok koyamayacağını da bu şekilde söyleyebiliriz. Buradaki sorun her şeyi sonsuza kadar küçültebileceğimiz veya bölebileceğimiz düşüncesinde başlıyor. Gerçek hayatta böyle bir şey yapabilir miyiz ?

  Evrenin görünmez parçacıklardan yapıldığı fikri Antik Yunan'a kadar dayanmaktadır. Demokritos bu fikrin babası niteliğindedir. Bu küçük parçalara atom adı verilmiştir. Bu parçalar çok küçüktür (Atom çapı 10^-8 cm) o kadar küçüklerdir ki bir küp şekerin içinde 24X0.13377777777X10^23 atom vardır[2]. Her ne kadar atom çok küçük olsa da 20. yüzyılda atomdan küçük şeyler keşfettik. Atomu oluşturan şeyleri keşfettik ve bunlara Elektron,Proton ve Nötron adını veriyoruz.Tabi ki de her şey burada bitmedi! 1968 yılında bilim adamları 3 farklı parçacık daha keşfettiler proton ve nötronlar bu parçacıklardan oluşuyorlardı ve bu parçacıklara kuarklar diyoruz. 

   Buraya kadar okuduğunuza göre anlayacağınız üzere en küçük parçacıklar kuarklar da değil. Şuan sonsuza kadar bölüyorsun işte dediğinizi duyar gibiyim ama sabredin öyle bir şey yapacak olsam daha kısa keserdim.  Sırada bahsedeceğimiz şey sicim teorisi. Sizim teorisine göre maddeler sicimlerden (düz çeviri ile tellerden) oluşmaktadır. Bu sicimler titreşerek yeni maddeler oluştururlar ve bu rezonans sicimin hangi parçacığı oluşturacağını belirler(elektron,nötrino,üst kuark vb). Peki büyüklüğü ne bu "sicim" dediğimiz şeylerin ? Telimizin büyüklüğü 10^-45 metre kadardır ve bu planck uzunluğuna tekabül eder(elektrondan 60 kuintilyon daha küçüktür). Peki neden küçük tellerimizi gözlemleyemiyoruz ? Bunun sebebi fotonların dalga boylarının tellerimizden daha büyük olması. O zaman var olduğunu nasıl biliyoruz ? Aslında bilmiyoruz. Sadece matematiğimiz işliyor ve o uzunluğa ulaşmaya çalıyoruz.
                                                                         
   Kısacası uzayı sürekli ikiye bölemeyiz çünkü fiziksel uzay sürekli değildir. Uzay bölünmeyen küçük parçacıklardan oluşmuştur. Bu kadar şey söyledik peki sonuç ne ? Matematiğimizdeki yanlışımız sonsuz iş yapma fikriydi aynı zamanda paradoksumuzdaki sıkıntı da bu. Matematikçiler her ne kadar kendi düşsel evrenlerinde bir şeyi sonsuza kadar bölebilseler veya sonsuz toplamlar yapabilseler de yaşadığımız evren içinde sonsuz iş yapmak mümkün değildir. Sonsuz uzunluk sonlu uzunluklardan oluşur. Aşil'in ölemeyeceği ile ilgili kısımda bahsettiğim okun katetmesi gereken mesafeyi sürekli bölerek sonsuza kadar gideceğini söylemiş olsak da anlayacağınız üzere aslında durum böyle değildir. Aynı mantık kaplumbağa problemimiz için de geçerlidir. Aradaki tek fark bir örnekte uzunluk küçükten büyüğe diğer örnekte ise büyükten küçüğe gidiyor ve bu şekilde sorunumuzu çözmüş oluyoruz.

      Bu yazıda çok uzun zamandır tartışılan bir paradoksu kendi düşüncelerimiz ile özetledik. Bu işin uzmanları olmasak da umarım bilim adına merakınızı uyandıran ve sizi araştırmaya sürükleyecek şeyler yazmışızdır. Her yazımda yaptığım gibi bir söz ile veda ediyor ve yazıyı bitiriyorum.

"Cogito ergo sum" - René Descartes

Bazı Kaynaklar ve Notlar

[1] ----> Ali Nesin - Matematik ve Doğa (sayfa 141) İşlemler: 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000... şeklinde giden sonsuz toplama x adını verelim. X'i 10 ile çarpalım  10x = 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + 1/100... oluyor. Bu şekilde 10x = 10 + x buna göre x = 10/9
[2] -----> İşlemler:
C6H12O6
Molekül ağırlığı = 72+12+96 = 180
1 mol 180 gram ise 4 gram 1/45 moldür
1/45 mol x 6,02x10^23 
24X0.13377777777X10^23 atom vardır
[3] Wikipedia 
[4] Sciencephile the AI